В рассмотренной ниже модели стохастического программирования [351] ограничения задачи определяются неотрицательными квадратичными функционалами. Причем матрицы квадратичных форм, включенных в целевую функцию, и условия задачи — вырожденные матрицы ранга единица [c.116]
Симметрическая матрица А = ((а -) называется матрицей квадратичной формы Q. [c.71]
О Пример. Написать матрицу квадратичной формы [c.71]
Обозначим через Л(/) матрицу квадратичной формы d-R(t,x0(t),ua(t)), а через M(t) — матрицу квадратичной формы [c.285]
Пусть а есть п х 1 вектор, А есть п х п матрица и В — п х га матрица. Выражение а х называется линейной формой по ж, выражение х Ах называется квадратичной формой по ж, а выражение х By — билинейной формой по х и у. В квадратичных формах без потери общности можно считать матрицу А симметрической, поскольку в противном случае А можно заменить на (А + А /2 [c.26]
Рассмотрим несколько примеров. Два наиболее важных случая скалярных функций от вектора х — это линейная форма а х и квадратичная форма х Ах. Пусть ф(х) = а х, где а — постоянный вектор. Тогда 6ф(х) = a dx, следовательно Оф(х) = а . Далее, пусть ф(х) = х Ах, где А — постоянная квадратная матрица. Тогда [c.230]
Рассмотрим схему Гаусса-Маркова (у, Xf3, <т2/), где r(X) = k. В 3 мы получили наилучшую аффинную несмещенную оценку для /3, /3 = (Х Х) 1Х у (оценка Гаусса-Маркова), минимизируя квадратичную форму (след ковариационной матрицы оценки) при линейном ограничении (несмещенность). В 4 мы показали, что оценка Гаусса— Маркова может быть также получена минимизацией (у — Х(3) (у — Х/3) по всем /3 из R. Тот факт, что метод наименьших квадратов (который является методом аппроксимации, а не оценивания) приводит к наилучшим аффинным оценкам, является довольно неожиданным и, конечно, не тривиальным. [c.355]
Нетрудно видеть, что дифференциал d z представляет собой симметричную квадратичную форму относительно дифференциалов независимых переменных dxi, dx%,. .., dxn. Матрица этой квадратичной формы, элементы которой являются вторыми [c.314]
В качестве целевого функционала задачи идентификации естественно также принимать математическое ожидание положительно определенной квадратичной формы ошибок идентификации. Элементы матрицы D(t) определяют веса, с которыми учитываются сравнительная важность компонент векторов состояния и точность измерения x(t) в различные моменты времени [c.48]
Отметим, что, в отличие от алгоритма I, в формулы алгоритма II явно входит и квадратичная форма G (в алгоритме I форма G использовалась лишь при вычислении градиента). Это обстоятельство сказывается при обобщении алгоритма на произвольную функцию / (х) при этом возникает необходимость заменить форму G другим подходящим объектом. Естественным аналогом G является матрица вторых производных / (х). [c.475]
Пример 4. Квадратичные формы х Ах. Очень важную роль в статистике играет изучение выражений х Ах, где матрица А не обязательно должна быть диагональной, но предполагается, что она симметрическая. В случае матрицы порядка 2x2 после выполнения умножения получаем [c.82]
Квадратичные формы положительно определенные матрицы [c.108]
Когда вектор г образован нормально распределенными переменными, выражение z Az есть квадратичная форма этих переменных. Если сравнить правую часть (4.77) с общим выражением для квадратичных форм, приведенным в примере 4 из первого параграфа этой главы, то мы обнаружим существенные упрощения. Тот факт, что матрица преобразования X ортогональна, позволяет легко вывести распределение элементов вектора у из распределения элементов вектора z. Предположим, что вектор z образован нормально и независимо распределенными переменными с нулевым средним и постоянной дисперсией о2, так что [c.112]
Рангом квадратичной формы Q = xAx называется ранг матрицы А. Ранг квадратичной формы не изменяется при невырожденных преобразованиях неизвестных. [c.71]
Квадратичная форма Q (х) — хАх положительно (отрицательно) определена тогда и только тогда, когда все собственные значения матрицы. А положительны (отрицательны). [c.71]
Для неотрицательности квадратичной формы d R, достаточно, чтобы ее матрица была диагональной с положительными элементами на диагонали, то есть [c.286]
Рассмотрим задачу (6.1) — (6.3). Градиент целевой функции (6.1) — вектор линейной формы =a0 = aoj . Градиенты функций, определяющих ограничения (6.2), —векторы строки матрицы А а.г = ац . Градиенты левых частей квадратичных ограничений (6.3) имеют вид [c.130]
Для каждой квадратичной формы Q = xAx можно подобрать такое линейное преобразование неизвестных x=Sy с ортогональной матрицей S, что матрица квадратичной формы Q = y(SrAS)y бу дет диагональной. [c.71]
Соотношения (1.4) и (1.6) определяют знаки главных миноров матрицы Гессе для нашей функции и тем самым являются достаточным условием неположительной определенности соответствующей квадратичной формы (1.3). Поэтому для вогнутости линейно однородных функций с двумя ресурсами условие (1.4) достаточно. [c.96]
Понятие положительно (неотрицательно) определенной симметрической матрицы А тесно связано с понятием положительно определенной (полуопределенной) квадратичной формы. [c.273]
Квадратичная форма 140 Квадратичная функция 141 Квадратичная целевая функция 385 Квадратичное программирование 141 Квадратная матрица 141 "Квазиденьги" 74 [c.468]
Первое из них представляет собой п уравнений относительно составляющих вектора А, а второе — условие отрицательной определенности квадратичной формы, которое проверяется по критерию Сильвестра применительно к матрице Гессе функции R . [c.357]
Показать, что квадратичная форма х Ах (Л = А ) определяет выпуклую функцию тогда и только тогда, когда матрица А — неотрицательно определенная, и вогнутую — тогда и только тогда, когда А — неположительно определенная. [c.112]
Сформулируем критерий знакоопределенности симметричной квадратичной формы. Будем называть матрицу [c.311]
Система (8.10) [или уравнение (8.11)] всегда имеет решение (точнее, бесконечное множество решений).ЗДействительно, матрица xav представляет собой матрицу линейного преобразования, которое переводит положительно определенную квадратичную форму с матрицей а вне-отрицательно определенную квадратичную форму с [матрицей k — II — k°f . Такое преобразование всегда существует. [c.336]
Используя в вычислениях кусочно постоянные сеточные функции и (t) на сетке с N интервалами, превратим квадратичный функционал в квадратичную форму в пространстве размерности Nr. Для того чтобы работать в дальнейшем с подобными формами, следует запомнить на сетке матрицу-функцию W (I, t), что потребует 7V2r2 ячеек памяти. Для того чтобы использовать формулы второго порядка точности для всех (пг+1) функционалов вариационной задачи, потребуется (m- -l)Nzrz ячеек памяти. Допустим, однако,"что затруднения с памятью оказались преодолимыми, и все вектор-функции w((t) и матрицы-функции W (I, t) (i=0, 1,.. ., m) вычислены и хранятся в памяти в виде соответствующих таблиц для дискретных значений аргументов t, , t. [c.205]
Однако данная матрица не является отрицательно полуопределенной. Действительно, для вектора г =(1, 1) имеем z Hz= 2 > 0. Таким образом, функция не является вогнутой. Покажем, что она квазивогнута. Несложно увидеть, что z Hz=2z1z2. Рассмотрим знак этой квадратичной формы при всех z таких, что Vu(x)z = 0, т.е. при всех z таких, что ж2 1 + ж1 2=0. Умножив это равенство на z , получим x2(z f + ж12122=0. На внутренности поло- [c.44]
Анализ проведенного доказательства позволяет усилить последний результат для строго коположительных матриц, поскольку для них равенство нулю квадратичной формы z1 Mz на неотрицательном ортанте возможно лишь при z = 0. [c.25]
Квадратичные формы были введены в примере 4 первого параграфа ой главы. Напомним, что если х — вектор-столбец, состоящий из п ементов, А — симметрическая матрица порядка п, то х Ах определяет 1адратичную форму относительно элементов вектора х. Квадратич-1Я форма и соответствующая ей матрица А называются положи-гльно определенными тогда и только тогда, когда [c.108]
Квадратичная форма 82, 108 Классификационное правило 33 Классификация 334 Ковариационная матрица 113, Ковариационный анализ 191 Койка схема распределенных л 297, 299 Корректировка сезонных колеб [c.439]
В векторно-матричной форме квадратичная форма имеет вид Q (х) = хАх, где х = (х1, х%,. . ., х ). Если в квадратичной форме Q = xAx неизвестные подвергнуть линейному преобразованию x = Sy, то лолучится квадратичная форма Q = y(STAS)y с матрицей STAS. [c.71]
Для неположительности квадратичной формы d2G, соответственно, достаточно, чтобы ее матрица была диагональной с отрицательными элементами на главной диагонали, то есть [c.286]
Метод сопряженных градиентов использовался автором не только в серийных расчетах задач оптимального управления (в качестве одного из блоков решения задачи линейного или квадратичного программирования), но и в методических расчетах в условиях сравнительно высокой размерности. В частности, в 48 представлены результаты решения задачи линейного программирования итерационным методом, включающим и метод сопряженных градиентов. Видно, что сходимость метода не соответствует теоретическим предсказаниям, что приводит к определенному (и заметному) перерасходу машинного времени. Были проведены и специальные эксперименты по минимизации формы (Вх, Вх) (G=B B) со случайной матрицей В размером 100x100. Использовалась схема типа III. Алгоритм не давал нужной точности после 300 — 400 шагов. Для уменьшения влияния ошибок округления была применена комбинация схем II и III четыре итерации проводились с вычислением В по схеме III, а каждая пятая — по более громоздкой формуле схемы II. Это привело к улучшению сходимости (выигрыш можно оценить числом л 2), но проблемы не решило. [c.477]
Смотреть страницы где упоминается термин Матрица квадратичной формы
: [c.312] [c.131] [c.276] [c.57] [c.110] [c.16] [c.491] [c.312] [c.337] [c.366] [c.114] [c.329] [c.291] [c.306]Математика для социологов и экономистов Учебное пособие (2004) -- [ c.312 ]
Справочник по математике для экономистов (1987) -- [ c.71 ]